|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Re: Stoelen bezet
Een getal dat op drie manieren te schrijven is als de som van twee kwadraten. Hoe kan ik deze vinden?
Antwoord
Hoi,
Het antwoord op je vraag is niet zo eenvoudig.
Elk getal n van de vorm p5 of p.q2 waarbij p en q priemgetallen zijn van de vorm 4k+1, is op precies 3 manieren te ontbinden als som van 2 kwadraten (volgorde van termen en tekens van grondtallen spelen geen rol).
Elk veelvoud r.n waarbij r geen priemfactor bevat van de vorm 4k+1 en waarbij elke priemfactor van de vorm 4k+3 een even aantal keer voorkomt, is ook op precies 3 manieren te ontbinden.
De kleinste waarde is dus 52.13=325=12+182=62+172=102+152.
Het bewijs hiervan is moeilijk. Je hebt stellingen nodig uit de getallentheorie zoals: 'elk priemgetal van de vorm 4k+1 is te schrijven als som van 2 kwadraten' en 'als x2+y2 deelbaar is door een priemgetal p van de vorm 4k+3, dan zijn x en y ook deelbaar door p'.
Als je N wil schrijven als som van 2 kwadraten, dan vind je bij elke deler die enkel uit priemfactoren van de vorm 4k+1 bestaat een unieke ontbinding als som van 2 kwadraten. Er zijn dus evenveel ontbindingen als er delers van die vorm bestaan.
Een ander antwoord is dat je een programmaatje kan schrijven, of het in Excel kan laten berekenen (al is het om de theorie te visualiseren en te toetsen).
Groetjes,
Johan
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
